Giá trị cực tiểu của hàm số bằng

Thời gian (phút)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)
Số ngày	6	6	4	1	1

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

Nhóm	[1; 5)	[5; 9)	[9; 13)	[13; 17)	[17; 21)
Tần số	4	8	13	6	4

Phương sai của mẫu số liệu là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Khi đó các kết luận sau Đúng hay Sai?

Đáp án: 10

Hướng dẫn giải bằng phương pháp đạo hàm:

- Xét hàm số \(y = f(x) = \frac{x^2 + 25}{x}\) trên khoảng \((0;+\infty)\).

- Đạo hàm của hàm số:

\[ y' = \frac{(x^2 + 25)' \cdot x - (x^2 + 25) \cdot x'}{x^2} = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 25)}{x^2} = \frac{x^2 - 25}{x^2} \]

- Tìm nghiệm của phương trình \(y' = 0\):

\[ y' = 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 - 25}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 25 = 0 \Leftrightarrow x = 5 \text{ hoặc } x = -5 \]

- Vì chỉ xét trên khoảng \((0;+\infty)\), ta nhận nghiệm \(x = 5\).

- Lập bảng biến thiên trên khoảng \((0;+\infty)\):

+ Với \(0 < x < 5\), ta có \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

+ Với \(x > 5\), ta có \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến.

- Điểm cực tiểu duy nhất của hàm số trên khoảng này là tại \(x = 5\), khi đó:

\[ y(5) = \frac{5^2 + 25}{5} = \frac{50}{5} = 10 \]

- Từ bảng biến thiên, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \((0;+\infty)\) đạt được tại \(x = 5\) và bằng \(10\).

Đáp án: 10,1

Hướng dẫn giải:

- Mẫu số liệu gốc gồm có \(N = 20\) giá trị.

- Theo đề bài, ta chia thành 5 nhóm có độ dài bằng nhau bắt đầu từ \([140;150)\). Bảng tần số ghép nhóm và giá trị đại diện \(c_i\) tương ứng là:

  + Nhóm 1: \([140;150)\) gồm các giá trị \(\{146, 148, 148\}\) → Tần số \(n_1 = 3\), giá trị đại diện \(c_1 = 145\).

  + Nhóm 2: \([150;160)\) gồm các giá trị \(\{150, 150, 155, 155, 158\}\) → Tần số \(n_2 = 5\), giá trị đại diện \(c_2 = 155\).

  + Nhóm 3: \([160;170)\) gồm các giá trị \(\{160, 160, 160, 161, 162, 163, 165, 168, 169\}\) → Tần số \(n_3 = 9\), giá trị đại diện \(c_3 = 165\).

  + Nhóm 4: \([170;180)\) gồm các giá trị \(\{170, 179\}\) → Tần số \(n_4 = 2\), giá trị đại diện \(c_4 = 175\).

  + Nhóm 5: \([180;190)\) gồm các giá trị \(\{182\}\) → Tần số \(n_5 = 1\), giá trị đại diện \(c_5 = 185\).

- Tính số trung bình cộng \(\bar{x}\) của mẫu số liệu ghép nhóm:

\[ \bar{x} = \frac{3 \cdot 145 + 5 \cdot 155 + 9 \cdot 165 + 2 \cdot 175 + 1 \cdot 185}{20} = \frac{3220}{20} = 161 \]

- Tính phương sai \(s^2\) của mẫu số liệu ghép nhóm:

\[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 3 \cdot (145-161)^2 + 5 \cdot (155-161)^2 + 9 \cdot (165-161)^2 + 2 \cdot (175-161)^2 + 1 \cdot (185-161)^2 \right] \]

\[ s^2 = \frac{3 \cdot 256 + 5 \cdot 36 + 9 \cdot 16 + 2 \cdot 196 + 1 \cdot 576}{20} = \frac{768 + 180 + 144 + 392 + 576}{20} = \frac{2060}{20} = 103 \]

- Tính độ lệch chuẩn \(s\):

\[ s = \sqrt{103} \approx 10,1489 \]

- Làm tròn kết quả đến hàng phần mười ta được: \(10,1\).

Đáp án: 0.84

Hướng dẫn giải:

- Gọi hàm số bậc ba mô tả quỹ đạo đường bay là: \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) với \(a \neq 0\).

- Đạo hàm của hàm số: \(y' = 3ax^2 + 2bx + c\).

- Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ \(O(0;0)\) làm điểm cực tiểu, suy ra:

  + \(y(0) = 0 \Rightarrow d = 0\)

  + \(y'(0) = 0 \Rightarrow c = 0\)

- Khi đó hàm số có dạng rút gọn: \(y = ax^3 + bx^2\) và đạo hàm \(y' = 3ax^2 + 2bx\).

- Đồ thị hàm số nhận vị trí bắt đầu hạ cánh \(A(-4;1)\) làm điểm cực đại, suy ra:

  + \(y(-4) = 1 \Rightarrow a(-4)^3 + b(-4)^2 = 1 \Leftrightarrow -64a + 16b = 1\) (1)

  + \(y'(-4) = 0 \Rightarrow 3a(-4)^2 + 2b(-4) = 0 \Leftrightarrow 48a - 8b = 0 \Leftrightarrow b = 6a\) (2)

- Thay (2) vào (1), ta được: \(-64a + 16(6a) = 1 \Leftrightarrow 32a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{32}\).

- Suy ra \(b = 6 \cdot \frac{1}{32} = \frac{3}{16}\). Vậy phương trình quỹ đạo bay là: \(y = \frac{1}{32}x^3 + \frac{3}{16}x^2\).

- Vị trí bắt đầu hạ cánh có hoành độ \(x = -4\). Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 1 dặm (về phía đất liền hướng tới gốc \(O\)), hoành độ lúc này của máy bay là: \(x = -4 + 1 = -3\).

- Khoảng cách từ máy bay đến mặt đất chính là tung độ tương ứng tại \(x = -3\):

\[ y(-3) = \frac{1}{32}(-3)^3 + \frac{3}{16}(-3)^2 = -\frac{27}{32} + \frac{27}{16} = \frac{27}{32} = 0,84375 \text{ (dặm)} \]

- Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm ta được: \(0,84\).

Đáp án: 49,8

Hướng dẫn giải:

- Ta có vectơ dịch chuyển của vật trong 5 giây đầu tiên là:

\[ \overrightarrow{AB} = (10 - 2; 12 - 4; 5 - 1) = (8; 8; 4) \]

- Vì vật giữ nguyên vận tốc và hướng di chuyển không đổi, nên vectơ dịch chuyển trong 3 giây tiếp theo từ điểm \(B\) đến điểm \(M\) sẽ tỉ lệ thuận với thời gian chuyển động:

\[ \overrightarrow{BM} = \frac{3}{5} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{3}{5} \cdot (8; 8; 4) = (4,8; 4,8; 2,4) \]

- Từ đó, ta xác định được tọa độ của điểm \(M(a;b;c)\) như sau:

\[ a = 10 + 4,8 = 14,8 \]

\[ b = 12 + 4,8 = 16,8 \]

\[ c = 5 + 2,4 = 7,4 \]

- Tính giá trị biểu thức theo yêu cầu bài toán:

\[ 5a - b - c = 5 \cdot 14,8 - 16,8 - 7,4 = 74 - 16,8 - 7,4 = 49,8 \]

* Đính chính lại phép tính: \(74 - 16,8 - 7,4 = 49,8\).

Đáp án: 32,6

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(\vec{F}\) là hợp lực của ba lực trên: \(\vec{F} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\).

- Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O \equiv A(0;0;0)\). Các tia \(Ax, Ay, Az\) lần lượt trùng với các tia \(AD, AB, AA'\).

- Giả sử hình lập phương có cạnh bằng \(1\). Khi đó:

  + Vectơ đơn vị trên các trục tương ứng là \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\).

  + \(\overrightarrow{AD}\) cùng hướng với \(\vec{i} \Rightarrow \vec{a} = 10\vec{i} = (10; 0; 0)\).

  + \(\overrightarrow{AB}\) cùng hướng với \(\vec{j} \Rightarrow \vec{b} = 10\vec{j} = (0; 10; 0)\).

- Đối với lực \(\vec{c}\) cùng hướng với đường chéo \(\overrightarrow{AC'}\):

  + Tọa độ các điểm trong hệ tọa độ đơn vị: \(A(0;0;0)\), \(C'(1;1;-1)\) (do điểm \(C'\) nằm ở phía dưới mặt phẳng \(Ax y\) nếu chiều \(Az\) hướng lên, hoặc gọi độ dài cạnh hình lập phương để tính toán trực tiếp hình học).

- Xét bằng phương pháp hình học / vectơ trực tiếp:

  + Hợp lực của hai lực vuông góc \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là \(\vec{F}_{ab} = \vec{a} + \vec{b}\). Vì \(\vec{a} \perp \vec{b}\) nên độ lớn \(F_{ab} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}\text{ N}\).

  + Vectơ \(\vec{F}_{ab} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\) nằm trên mặt phẳng đáy \((ABCD)\).

  + Hình chiếu của đường chéo \(AC'\) lên mặt đáy \((ABCD)\) chính là đường chéo đáy \(AC\). Do đó, góc giữa đường chéo \(\overrightarrow{AC'}\) và đường chéo đáy \(\overrightarrow{AC}\) chính là góc \(\alpha = \widehat{CAC'}\) trong tam giác vuông \(ACC'\).

  + Trong hình lập phương cạnh \(x\), ta có \(AC = x\sqrt{2}\) và \(AC' = x\sqrt{3}\). Suy ra \(\cos\alpha = \frac{AC}{AC'} = \frac{x\sqrt{2}}{x\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).

- Độ lớn hợp lực tổng hợp \(\vec{F} = \vec{F}_{ab} + \vec{c}\):

\[ F^2 = F_{ab}^2 + c^2 + 2 \cdot F_{ab} \cdot c \cdot \cos\alpha \]

\[ F^2 = (10\sqrt{2})^2 + 20^2 + 2 \cdot 10\sqrt{2} \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \]

\[ F^2 = 200 + 400 + \frac{400\sqrt{12}}{3} = 600 + \frac{800\sqrt{3}}{3} \approx 600 + 461,88 = 1061,88 \]

\[ F = \sqrt{1061,88} \approx 32,586\text{ (N)} \]

- Làm tròn kết quả đến hàng phần mười ta được: \(32,6\).

Đáp án: 0,41

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(t\) (giờ, \(t \geq 0\)) là thời gian chuyển động của hai con tàu kể từ lúc khởi hành.

- Tại thời điểm \(t\):

  + Tàu \(A\) di chuyển đến vị trí \(A_1\), quãng đường đi được là \(AA_1 = 6t\).

  + Tàu \(B\) di chuyển đến vị trí \(B_1\), quãng đường đi được là \(BB_1 = 7t\). Vì ban đầu hai tàu cách nhau \(AB = 5\) hải lí và tàu \(B\) hướng về \(A\), nên khoảng cách còn lại từ tàu \(B\) đến vị trí ban đầu của tàu \(A\) là: \(AB_1 = |5 - 7t|\).

- Do hướng Nam (hướng chạy của tàu \(A\)) vuông góc với đường nối vĩ tuyến (hướng chạy của tàu \(B\)), nên tam giác \(A_1AB_1\) là tam giác vuông tại \(A\).

- Bình phương khoảng cách \(d^2\) giữa hai tàu tại thời điểm \(t\) được tính theo định lý Pi-ta-go:

\[ d^2 = AA_1^2 + AB_1^2 = (6t)^2 + (5 - 7t)^2 \]

\[ d^2 = 36t^2 + 25 - 70t + 49t^2 = 85t^2 - 70t + 25 \]

- Đây là một hàm số bậc hai dạng \(f(t) = 85t^2 - 70t + 25\) có hệ số \(a = 85 > 0\), đồ thị là một parabol có bề lõm quay lên trên.

- Do đó, giá trị \(f(t)\) (và kéo theo khoảng cách \(d\)) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol:

\[ t = -\frac{b}{2a} = \frac{70}{2 \cdot 85} = \frac{70}{170} = \frac{7}{17} \approx 0,41176 \text{ (giờ)} \]

- Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm ta được: \(0,41\).